弦理論1.1 背景時空と世界面

D次元ミンコフスキー空間\displaystyle{ X^ {\mu}(\mu =0,1,…,D-1)} における、ポアンカレ対称性を持った弦の古典論を考える。弦が掃く2次元面を世界面という。世界面上のパラメータを\displaystyle{ (\tau,\sigma)} とする。世界面上の点はD次元空間では\displaystyle{ X^ {\mu}(\tau,\sigma)} で記述される。当面、\displaystyle{ \tau} を時間的、\displaystyle{ \sigma} を空間的なパラメータと考えることにするが、新たに\displaystyle{ (\tau^ {\prime},\sigma^ {\prime})} というパラメータを用いても理論の物理的な内容は変わらず、作用は不変であると期待される。これをdiff不変性という(座標変換\displaystyle{ \sigma^ {a}\rightarrow \sigma^ {\prime a}(\sigma)} が全単射かつ微分可能であり、逆写像も微分可能であるとき微分同相変換あるいはdiff変換という)。

世界面上の(誘導)計量を\displaystyle{ h_ {ab}} とする。添字の\displaystyle{ a,b} は\displaystyle{ (\sigma^ {0},\sigma^ {1})=(\tau,\sigma)} に対応する。ここでは、添字にギリシャ文字を使う場合は背景時空、アルファベットを用いる場合は世界面上の座標を意味するとする。

世界面上の線素を二通りの方法で表すと

ds^ {2}=g_ {\mu\nu}dX^ {\mu}dX^ {\nu}=g_ {\mu\nu}\dfrac{\partial X^ {\mu}}{\partial \sigma ^ {a}} \dfrac{\partial X^ {\nu}}{\partial \sigma ^ {b}}d\sigma ^ {a}d\sigma ^ {b}=h_ {ab}d\sigma^ {a}d\sigma^ {b}

であるから、

h_ {ab}=\partial _ {a}X^ {\mu} \partial_ {b} X_ {\mu}

が出る。これを誘導計量という。 これは世界面上の基底ベクトル \displaystyle{ \partial_ {a}X^ {\mu}} と

\displaystyle{ \partial_ {b}X^ {\mu}} の内積

\eta_ {\mu\nu}\partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X^ {\nu}

と思ってもよい(いま平坦時空を考えているから、当然

\displaystyle{ \partial_ {a} \eta^ {\mu\nu}=0 } である)。