弦理論1.2 南部後藤作用

弦の作用を出すにあたり、点粒子の相対論的な作用が世界線の長さ(に比例するもの)で与えられていたことを思い出そう:

S=-mc\int ds=-mc\int d\tau \sqrt{-g_{\mu\nu}\dot{X}^{\mu}\dot{X}^{\nu}}

ここから、弦の作用は世界面の面積を表すのではないかというアナロジーができる。これは南部後藤作用(以後NG作用)呼ばれ、次式で与えられる:

S_{\rm{NG}}= -\dfrac{1}{2\pi \alpha^{\prime}}\int d\tau d\sigma \sqrt{-h}

ここで、\displaystyle{\alpha^{\prime}}はレッジェスロープと呼ばれるパラメータであり、係数\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{2\pi\alpha^{\prime}}}は弦の張力を表す因子である。 また\displaystyle{h}は誘導計量の行列式\displaystyle{h=\det h_{ab}}であり、\displaystyle{\sqrt{-h}}は作用をdiff不変にするために必要な因子である。 なぜなら計量の行列式は座標変換\displaystyle{(\tau,\sigma)\rightarrow (\tau^{\prime},\sigma^{\prime})}に対し

\det h^{\prime}_{ab}(\tau^{\prime},\sigma^{\prime})=\det\left(\dfrac{\partial \sigma^{c}}{\partial \sigma^{\prime a}}\dfrac{\partial \sigma^{d}}{\partial \sigma^{\prime b}}h_{ab}(\tau,\sigma)\right)=\left\vert\dfrac{\partial(\tau^{\prime},\sigma^{\prime})}{\partial(\tau,\sigma)}\right\vert^{2}\det h_{ab}(\tau,\sigma)

と変換するから、

d\tau^{\prime} d\sigma^{\prime} \sqrt{-h^{\prime}}=d\tau d\sigma \sqrt{-h}

となって、作用が不変に保たれるからである。この作用がポアンカレ不変性を持つこともすぐわかる。