弦理論1.3 ポリャコフ作用

NG作用は、世界面の面積と解釈できるため非常に分かりやすいが、\displaystyle{X^ {\mu}}について多項式的ではなく、扱いにくい形をしている:

S_ {\rm{NG}}[X]= -\dfrac{1}{2\pi \alpha^ {\prime}}\int d\tau d\sigma \sqrt{-h[X]}

また経路積分は、分配関数

Z=\int [dX]e^ {-S[X]}

を計算することで行われるため、NG作用の経路積分は面倒な処理を要求されることになる。 実は、古典論的にNG作用と完全に等価であって、より扱いやすい表式が存在する(量子化後は、臨界次元と呼ばれる特定の次元でのみ等価である)。

まずNG作用における手続きを整理すると、

h_ {ab}=\partial_ {a} X^ {\mu}\partial_ {b}X_ {\mu}

という“定義”のもとで、

\delta_ {X}S_ {\rm{NG}}=0

が成立する、というものだった(変分原理)。\displaystyle{ \delta _ {X} } は\displaystyle{X^ {\mu}}についての変分を表す。

ここで、\displaystyle{ h _ {ab}= \partial _ {a}X^ {\mu}\partial _ {b}X _ {\mu} } を、定義ではなく\displaystyle{ h(\tau,\sigma)}という関数に対する“拘束条件”と見るならば、上の手続きは

\begin{split} &S[X,h,\gamma]=\int d\tau d\sigma\mathscr{L}^ {\prime}[X,h,\gamma]\\ &= -\dfrac{1}{2\pi \alpha^ {\prime}}\int d\tau d\sigma\biggl[\sqrt{-h}-\dfrac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma^ {ab}(h_ {ab}-\partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X_ {\mu})\biggr] \end{split}

と作用に対して、

\begin{split} &\delta_ {\gamma}S^ {\prime}=0\\ &\delta_ {X}S^ {\prime}=0 \end{split}

を課すことと完全に同等である(ラグランジュの未定乗数法)。

いま\displaystyle{\gamma^ {ab}}は未定乗数法の単なる係数だから完全に任意に決められるが、経路積分のためには\displaystyle{\sqrt{-h}}の項が消去されるように選ぶべきである。つまり、

\delta_ {h}S^ {\prime}[X,h,\gamma]=0

となるように\displaystyle{\gamma^ {ab}}を決めればよい。この式から、

\sqrt{-\gamma}\gamma^ {ab}=\sqrt{-h}h^ {ab}

と選ぶならば、\displaystyle{\mathscr{L}^ {\prime}}の第一項と第二項が相殺して、

\mathscr{L}^ {\prime}[X,\gamma]= -\dfrac{1}{4\pi \alpha^ { \prime}}\sqrt{-\gamma}\gamma^ {ab}\partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X_ {\mu}

となることが分かるから、これを元に新しい作用を

S_ {P}[X,\gamma]=-\dfrac{1}{4\pi\alpha^ {\prime}}\int d\tau d\sigma \sqrt{-\gamma}\gamma^ {ab}\partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X_ {\mu}

と書くことができる。これはポリャコフ作用(以後P作用)と呼ばれる。

整理すると、

\begin{cases} h_ {ab}= \partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X_ {\mu} \\ \delta_ {X}S_ {\rm{NG}}[X]=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \delta_ {\gamma}S_ {\rm{P}}[X,\gamma]=0 \\ \delta_ {X}S_ {\rm{P}}[X,\gamma]=0 \end{cases}

さてP作用はまさに、上で述べたように\displaystyle{X^ {\mu}}の2次で書かれている。 また、P作用からは次のようにして容易にNG作用に戻ることができる。 まず\displaystyle{\delta _ {\gamma}S _ {P}=0}から\displaystyle{\sqrt{-\gamma}\gamma _ {ab}=\sqrt{-\det(\partial _ {c}X^ {\mu}\partial _ {d}X _ {\mu})} \partial _ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X _ {\mu} }が言えるから、これを\displaystyle{S _ {P}}に代入すれば

S_ {P}=-\dfrac{1}{2\pi\alpha^ {\prime}}\int d\tau d\sigma\sqrt{-\det(\partial_ {a}X^ {\mu}\partial_ {b}X _ {\mu})}=S_ {NG}

ところでこの表式は、クラインゴルドン方程式を満たすスカラー場を思い出させる:

S_ {KG}=\dfrac{1}{2}\int d^ {4}x\partial_ {\mu}\phi(x)\partial^ {\mu}\phi(x)

いま注意すべきなのは、P作用に質量項がないからと言って必ずしも弦がmasslessだとは限らないことである。弦の場合、その振動状態が弦の質量をダイナミカルに決定するので、初めから手で質量を与える必要がない(というか不可能だ)からである。

さてこれ以降、世界面上の計量といった場合は、誘導計量\displaystyle{h _ {ab}}ではなく補助場\displaystyle{\gamma _ {ab}}のことを指すものとし、添字の上げ下げも\displaystyle{\gamma _ {ab}}を用いて行うこととする(いざとなれば、\displaystyle{\gamma _ {ab}}からいつでも \displaystyle{ h _ {ab} } の形に書き直すことができるので、特に問題はない)。